Question

已知数列{an}的前n项和Sn,求数列｛an}的通项公式 (1)Sn=n^2+2n+1 (2)Sn=2^n (3)Sn=2n^2+n

Answer 1

这个通项公式应该是Sn=lnn γ 其中γ为欧拉常数，具体推导过程： 学过高等数学的人都知道，调和级数S=1 1/2 1/3 ……是发散的，证明如下： 由于ln(1 1/n)<1/n（n=1，2，3，…） 于是调和级数的前n项部分和满足 Sn=1 1/2 1/3 … 1/n>ln(1 1) ln(1 1/2) ln(1 1/3) … ln(1 1/n) =ln2 ln(3/2) ln(4/3) … ln[(n 1)/n] =ln[2*3/2*4/3*…*(n 1)/n]=ln(n 1) 由于 limSn（n→∞）≥limln(n 1)（n→∞）= ∞ 所以Sn的极限不存在，调和级数发散。 但极限S=lim[1 1/2 1/3 … 1/n-ln(n)]（n→∞）却存在，因为 Sn=1 1/2 1/3 … 1/n-ln(n)>ln(1 1) ln(1 1/2) ln(1 1/3) … ln(1 1/n)-ln(n) =ln(n 1)-ln(n)=ln(1 1/n) 由于 limSn（n→∞）≥limln(1 1/n)（n→∞）=0 因此Sn有下界 而 Sn-S(n 1)=1 1/2 1/3 … 1/n-ln(n)-[1 1/2 1/3 … 1/(n 1)-ln(n 1)] =ln(n 1)-ln(n)-1/(n 1)=ln(1 1/n)-1/(n 1)>ln(1 1/n)-1/n>0 所以Sn单调递减。由单调有界数列极限定理，可知Sn必有极限，因此 S=lim[1 1/2 1/3 … 1/n-ln(n)]（n→∞）存在。 于是设这个数为γ，这个数就叫作欧拉常数，他的近似值约为0.57721566490153286060651209，目前还不知道它是有理数还是无理数。 于是我们得到Sn的公式是：Sn=lnn γ 在微积分学中，欧拉常数γ有许多应用，如求某些数列的极限，某些收敛数项级数的和等。 参考资料： http://baike.baidu.com/view/296190.htm