Question

已知：如图，已知在三角形abc内，角bac等于60°，角c等于40°，p，q分别在bc，ca上，并且ap，bq

分别是角bac，角abc的角平分线，求证：bq+aq=ab+bp。

Answer 1

延长AB截取AD=AC，连接PD

∵∠BAC=60°，∠C=40°

∴∠ABC=180°-60°-40°=80°

∵BQ平分∠ABC，

∴∠QBC=1/2∠ABC=1/2×80°=40°

∴∠QBC=∠C=40°

∴BQ=CG

∴AC=AQ+CG=BQ+AQ

∵AP平分∠BAC

∴∠DAP=∠CAP

∵AD=AC，AP=AP

∴△ADP≌△ACP(SAS)

∴∠D=∠C=40°

∵∠ABC=∠D+∠BPD即80°=40°+∠BPD

∴∠BPD=∠D=40°

∴BD=BP

∵AD=AB+BD

∴AB=AB+BP

∴BQ+AQ=AB+BP

追问

貌似很有道理，能说一下步骤么？

Answer 2

∵∠BAC = 60° ;∠ACB＝40° ∴∠ABC＝80°
又AP 平分∠BAC ； BQ 平分∠ABC
∴∠BAP=∠CAP=30° ; ∠ABQ=∠CBQ=40°

∴∠CBQ=∠BCQ＝40° ∴BQ＝CQ

∴BQ＋AQ=CQ＋AQ=AC

延长AB至P' 使BP'=BP 连PP'
∴∠AP'P=∠ACP＝40°

在⊿AP'P与⊿ACP中
∠P'AP＝∠CAP

∠P'=∠C ∴⊿AP'P≌⊿ACP
AP=AP ∴AB+BP'=AP'=AC
∴BQ+AQ=AB+BP=AC 即BQ+AQ=AB+BP