Question

已知如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN 是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E

（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明。

Answer 1

1、证明：因为AB=AC，AD⊥BC，

所以∠BAD=∠CAD（三线合一），

又因为AN平分∠CAM，∠BAC+∠CAM=180°，

所以∠CAD+∠CAN=180°/2=90°，

又因为CE⊥AN，

所以AD∥CE，∠ADC=∠CEA=∠DAE=90°，

则∠DCE=90°，

所以四边形ADCE是矩形。

2、当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCE是一个正方形。

证明：因为△ABC是等腰直角三角形，

则∠BAC=90°，

所以∠DAC=45°，

又因为四边形ADCE是矩形，

所以∠ADC=90°，

所以∠ACD=45°，

所以AD=DC，

所以四边形ADCE是正方形。