Question

求f（x）=sinx（1+cosx）（0≤x≤2π）的单调区间

在求导过程中，解得该函数的导数为0时，x=π/3,π，5π/3
其中5π/3这个解是怎么解出来的？

Answer 1

f(x)=sinx(1+cosx)
则，f'(x)=cosx(1+cosx)+sinx*(-sinx)
=cosx+cos²x-sin²x
=cosx+2cos²x-1
当f'(x)=0时：2cos²x+cosx-1=0
===> (2cosx-1)(cosx+1)=0
===> cosx=1/2，或者cosx=1
===> x=2kπ±(π/3)，或者x=2kπ+π（k∈Z）
已知x∈[0,2π]
所以，x=π/3，或者x=5π/3，或者x=π

追问

①===> cosx=1/2，或者cosx=-1这里是-1
② ===> x=2kπ±(π/3)，或者x=2kπ+π（k∈Z）这一步是怎么来的

追答

这个好像很难跟你讲清楚了！如果cosx=1/2求x都不会，真心地不好怎么解释！！

追问

根据图像的话，我可以看出x=π/3，x=π这两个，但是x=5π/3这个就看不出，这个应该是跟函数周期有关系把，但是cosx的周期不是2kπ么，这样算不出x=5π/3这个呀

追答

你可以根据图像来，但是你仅仅只看了一部分，注意x的范围是[0,2π]！
cosx的周期的确是2π，但是对于cosx=1/2，它是可以有无数个x满足的，只要x在取值范围之内！

追问

不是的呀，我看图像知道当cosx=1/2的时候有两个解，但是我只能具体算出第一个x值，第二个x值（5π/3）怎么算

追答

你先计算cosx=1/2
则x=±π/3——这个可以懂吧
而-π/3按照逆时针来看就是2π-(π/3)=5π/3了