Question

已知函数fx=x^2-ax-a若存在实数x使fx<0求实数a的取值范围

已知函数f(x)=x^2-ax-a
(1)若存在实数x使fx<0求实数a的取值范围
(2)设集合g(x)=log|a| (|f(x)|)在区间[0,1]上单调递增,求实数a的取值范围

Answer 1

解：(1) 若存在实数x，使f(x)<0，即方程x^2-ax-a=0有两个不相同的实根。
△=a^2+4a>0，解之，得a<-4或a>0.

(2) 1) 若f(x)恒大于等于0，即△=a^2+4a<=0，-4<=a<=0，|f(x)|=f(x)，
单调递增区间为[a/2, +∞)，单调递减区间为(-∞, a/2].
若0<|a|<1，则g(x)的单调递增区间为(-∞, a/2]，于是必有a/2>=1，不符合条件。
若|a|>1，则g(x)的单调递增区间为[a/2, +∞)，于是必有a/2<=0，故a<-1满足条件。
综上，-4<=a<-1.
2) 若f(x)不恒大于等于0，即存在实数x，使f(x)<0，由第(1)小题可得a<-4或a>0.
f(x)=0两根分别为[a-根号(a^2+4a)]/2和[a+根号(a^2+4a)]/2，
|f(x)|单调递增区间为【[a-根号(a^2+4a)]/2，a/2】 和【[a+根号(a^2+4a)]/2, +∞)；
单调递减区间为(-∞, [a-根号(a^2+4a)]/2】以及【a/2, [a+根号(a^2+4a)]/2】
若0<|a|<1，则g(x)单调增区间为|f(x)|单调递减区间，必有
[a-根号(a^2+4a)]/2>=1
或 a/2<=0 且 [a+根号(a^2+4a)]/2>=1
发现无解。
若|a|>1，则g(x)单调增区间为|f(x)|单调递增区间，必有
[a-根号(a^2+4a)]/2<=0 且 a/2>=1
或 [a+根号(a^2+4a)]/2>=1.
解之，得 a>1.

综合1)与2)可以得出a的取值范围为[-4, -1) U (1, +∞).

Answer 2

（1）、f(x)=x^2-ax-a=(x-a/2)^2-a-a^2/4>=-a-a^2/4，
——》-a-a^2/4<0，
——》a>0，或a<-4；
（2）、你自己分区间分别进行讨论吧，太复杂了。