Question

已知函数f(x)=lnx g'(x)=x且g(2)=2

设函数F(X)=ag(x)-f(x) a>0若F(X)没有零点求a取值范围

Answer 1

答：
f(x)=lnx，g'(x)=x
积分得：g(x)=x²/2+C
所以：g(2)=2+C=2
解得：C=0，g(x)=x²/2
F(x)=ag(x)-f(x)
=ax²/2-lnx
求导：
F'(x)=ax-1/x=(ax²-1)/x
解F‘(x)=0得：x=1/√a
0<x<1/√a，F'(x)<0，F(x)是减函数
x>1/√a，F'(x)>0，F(x)是增函数
所以：x=1/√a时F(x)取得最小值
所以：F(x)>=F(1/√a)=1/2-ln(1/√a)>0
1/2+(1/2)lna>0
lna>-1
a>1/e

Answer 2

g'(x)=x
g(x)=x^2/2+C
g(2)=2
C=0
g(x)=x^2/2
F(X)=ag(x)-f(x)无零点，即

F(x)=(a/2)x^2-lnx,a>0
F'(x)=ax-1/x=0
x=√(1/a)时，F(x)有唯一极值点
用作图法，作当a=2时F(x)的图像可看出此为极小值点，证明则有点难度
极小值F(√(1/a))=1/2+(1/2)lna大于0时即无零点，所以：

1/2+(1/2)lna>0,lna>-1, 即a>1/e时,F(X)没有零点