Question

高三数学导数 已知函数f(x)=lnx.(1)若直线y=x+m与函数f(x)的图像相切，求实数m的

高三数学导数 已知函数f(x)=lnx.(1)若直线y=x+m与函数f(x)的图像相切，求实数m的值;(2)证明曲线y=f(x)与曲线y=x-1/x有唯一的公共点;

Answer 1

1）函数求导，f ’(x)=1/x,直线y=x+m的斜率=1，则1/x=1,x=1,f(1)=ln(1)=0,函数在点(1,0)处的切线方程为y=x-1,与y=x+m相同，则m=-1(2)构造一个新函数y=x-1/x-lnx,求导，y’=1+1/x^2-1/x=(x^2-x+1)/x^2=[(x-1/2)^2+3/4]/x^2>0,即在x>0时，函数的导数总是>0的，则函数在定义域内单调递增，只有一个0值点(1,0),所以，曲线y=f(x)与曲线y=x-1/x有唯一的公共点(1,0)