Question

已知函数f(x)=x-1+a/e^x(a∈R，e为自然对数的底数). ⑴若曲线

y=f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值； ⑵求函数f(x)的极值； ⑶当a=1时，若直线l：y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点，求k的最大值.

Answer 1

1. f(x)=x-1+a/e^x

   f'(x)=1-a/e^x

   f'(1)=0→a=e

2. a≤0时,f'(x)>0 f(x)单调递增，无极值

   a>0时，驻点x=lna f''(x)=a/e^x>0→驻点为极小值点

   极小值=lna-1+a/e^lna=lna

3. 令g(x)=kx-1-x+1-1/e^x=(k-1)x-1/e^x

   g'(x)=(k-1)+1/e^x

   当k>1时 g'(x)>0 g(x)单调递增

   lim(x→-∞)g(x)=-∞ lim(x→+∞)g(x)=+∞

   由零点定理g(x)一定存在零点(即有公共点)；

   k=1时

   lim(x→+∞)f(x)/x=1 lim(x→+∞)[f(x)-x]=-1

   y=x-1是f(x)的斜渐近线

   ∴k的最大值=1

Answer 2