Question

设f（x）是定义在r上的函数，对任意x.y∈r，恒有f（r +y)=f（x）.f（y）当x>0时有

设f（x）是定义在r上的函数，对任意x.y∈r，恒有f（r
+y)=f（x）.f（y）当x>0时有0<f（x）<1 求证，f（0）=1 且当x<0时f（x>1） 证明f（x）在r上单调递减

Answer 1

令y=0,x>0,
则f(x+0)=f(x)f(0),
即f(x)=f(x)f(0),
故f(0)=1,

令x<0,y=-x>0,
则f(x-x)=f(x)f(-x),
即1=f(0)=f(x)f(-x),
故f(x)=1/(f-x),
因-x>0,
故0<f(-x)<1,
故f(x)=1/f(-x)>1,

由上得x∈R有f(x)>0,
设x1<x2∈R,
令x=x1,y=x2-x1>0,
则f(x1+x2-x1)=f(x1)f(x2-x1)
即f(x2)=f(x1)f(x2-x1)
故0<f(x2)/f(x1)=f(x2-x1)<1
故f(x2)<f(x1)
故f(x)在R上单调递减

Answer 2

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