Question

在锐角三角形ABC中，角A.B.C所对的边分别为a.b.c，且满足

cos^2A-cos^2B=cos（π/6-A）cos（π/6+A）。（1）求角B的值（2）若b=1,且b<a，求a+c的取值范围

Answer 1

（1）
∵（cosA）^2－（cosB）^2＝cos（π/6－A）cos（π/6＋A），
∴（cosA）^2－（cosB）^2＝（1/2）cos（π/3）＋（1/2）cos2A
∴（cosA）^2－（cosB）^2＝1/4＋（1/2）［2（cosA）^2－1］＝1/4＋（cosA）^2－1/2，
∴（cosB）^2＝1/4，∴cosB＝1/2，∴B＝60°。

（2）
显然有：a＋c≧2√（ac），∴（a＋c）^2≧4ac，∴ac≦（1/4）（a＋c）^2。
由余弦定理，有：a^2＋c^2－2accosB＝b^2＝1，∴a^2＋c^2－ac＝1，∴（a＋c）^2－3ac＝1，
∴（a＋c）^2＝1＋3ac≦1＋3×［（1/4）（a＋c）^2］＝1＋（3/4）（a＋c）^2。
∴（1/4）（a＋c）^2≦1，∴（a＋c）^2≦4，∴a＋c≦2。
自然有：a＋c＞b＝1，∴（a＋c）的取值范围是（1，2］。