e^(-x^2)=∑<n=0，∞>(-x^2)^n/n！=∑<n=0，∞>(-1)^n*x^(2n)/n！。
函数在区间-r≤x≤r上有|fn（x）|=|e^x|≤e^r（n=1，2）
所以函数ex可以在区间[-r，r]上展开成幂级数，
结果为
e^x=1+f'(0)x/1!+f"(0)x^2/2!+...+f^n(0)x^n/n!
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!
扩展资料
幂级数在级数的1653每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。
幂级数解法就要寻求其他求解方法，尤其是近似求解方法，幂级数解法就是常用的近似求解方法。用幂级数解法和广义幂级数解法可以解出许多数学物理中重要的常微分方程，例如: 贝塞尔方程、勒让德方程。
e^(-x^2)=∑<n=0，∞>(-x^2)^n/n！=∑<n=0，∞>(-1)^n*x^(2n)/n！。
函数在区间-r≤x≤r上有|fn（x）|=|e^x|≤e^r（n=1，2）
所以函数ex可以在区间[-r，r]上展开成幂级数，
结果为
e^x=1+f'(0)x/1!+f"(0)x^2/2!+...+f^n(0)x^n/n!
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!
函数
的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。
函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。
所以f(x)=1-x²+x^4/2!-x^6/3!+……+(-1)^n*x^(2n)/n!+……
-∞ <x<+∞
