Question

求解答过程，线性代数题，3道题，100财富值

Answer 1

1、T是线性变换直接验证T(f+g)=T(f)+T(g)和T(kf)=kT(f)即可
设f（x)=a0+a1x+a2x^2则选取一组基{1,x,x^2}下的f(x)的坐标为(a0,a1,a2)T
T(a0,a1,a2)=a0+a1x+a2x^2+(x+2)(a1+2a2x)=a0+2a1+(2a1+4a2)x+3a2x^2=(a0+2a1,2a1+4a2,3a2)=A(a0,a1,a2)
所以T的矩阵为A(T)=
1 0 0
2 2 0
0 4 3
计算det(λI-A)=0得到λ=1,2,3
λ=1，方程(I-A)x=0的解为特征向量p1=k1(1,-2,4)T,k1≠0
λ=2，方程(2I-A)x=0的解为特征向量p2=k2(0,1,-4)T,k2≠0
λ=3，方程(3I-A)x=0的解为特征向量p3=k3(0,0,1)T,k3≠0
2、因为互异特征值对应的特征向量必定线性无关，所以两个特征子空间之交只有零，且之和是2维空间所以是直和。
3、仿照1，A的特征值为1,1,-2
特征值为1时对应特征向量为k1(3,-6,20)T,特征值2时特征向量为k2(0,0,1),k1,k2≠0

Answer 2

怎么第一道不是应该只有2个特征值吗》？