Question

高分求第一题过程，线性代数 急!

Answer 1

我们令其三个特征值为λi,i=1,2,3

显然|λE-A|=(λ-λ1)(λ-λ2)(λ-λ3)=λ^3+mλ^2+nλ+p,(m,n,p分别是其2次方系数，1次方系数，和常数项）

然后这道题用到行列式这个性质:

如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样.

 

把特征值行列式所有λ-aii,i=1,2,3的所在行都分成只含有λ和-aii,i=1,2,3的两个行列式之和就会得到如下的行列式:

然后可以得出

λ^3只能标号为1类型行列式,可以得到其系数1

λ^2只能标号为2类型行列式,可以得到其系数m=-(a11+a22+a33)

λ只能标号为3类型行列式,可以得到其系数n=三个子式之和

又因为|λE-A|=(λ-λ1)(λ-λ2)(λ-λ3)=λ^3+mλ^2+nλ+p

令上式λ=0,可以得到常数项p=-λ1λ2λ3=-|A|