Question

一道关于线性代数的问题

题目如下图第10题所示

下图是解答，我想问的是，Ax=0只有零解，说明A是满秩，那么秩就有可能是m或n，而答案中为什么写的是n呢？谢谢！

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Answer 1

Ax=0只有零解，说明A是列满秩。因为换一个观点来看，Ax可以看做是对A的所有列向量做线性组合得到一个新向量，而组合的系数就是x的各个分量。如果Ax=0只有零解，表明A的列向量线性无关，就是要用A的列向量组合成零向量，组合系数必须都是0。此时A是列满秩矩阵，A的秩等于n（列数）。

其实A如果是列满秩，那么它的行数m一定不会小于列数n。因为矩阵的秩r不会超过行数m和列数n，即r<=min(m,n)。因此已知矩阵A是列满秩，其秩是n，那么它的行数m>=n。所以不用考虑行数的问题。

如果A的行向量线性无关或者x'A=0只有零解，那么A就是行满秩矩阵，此时的列数一定不小于行数。

Answer 2

我想问的是，Ax=0只有零解，说明A是满秩，那么秩就有可能是m或n，
这是错误的，
只能说明是A列满秩，不能说明A是满秩或者行满秩！
这个是一个经典的错误！！

追问

那什么情况下能说明A是行满秩呢？谢谢！

追答

行满秩的条件要求多一些，去年的考试AX=B那个题就是用到行满秩了

对于齐次线性方程组XA=0也可说是行满秩，

利用的原理是左乘等于行变换，右乘等于列变换

感觉你复习根本没看过书，就是照着题在背题一样，

看你很多电路问题就有点感觉，先要把课本过一遍，定理定义明白了才行呀！