Question

已知函数f(x)=x^3+x^2+ax+1 当a<0时 是否存在属于(0,1/2)U(1/2,1)使f(x)=f(1/2)

Answer 1

设F(x)=f(x)-f(1/2)

=(x^3+x^2+ax+1)-(1/8+1/4+a/2+1)

=(x^3+x^2+ax-3/8-a/2)

求方程f(x)=f(1/2)在(0,1)上除1/2以外的解，

即相当于求F(x)在(0,1)上除1/2以外的零点

F'(x)=3x^2+2x+a=3(x+1/3)^2+a-1/3

令F'(x)=0易解得F(x)的两个极值点为

x1=-1/3*[1+√(1-3a)]，x2=-1/3*[1-√(1-3a)]

易知，x1始终为负数，为极大值点

而当x2≤0或x2≥1时，F(x)在(0,1)上为单调函数，∴不可能有超过一个的零点

∴欲另有零点，必有 0<x2=-1/3*[1-√(1-3a)]<1，且 x2≠1/2                  (1)

∵F(1/2)=0恒成立，而F(0)=-3/8-a/2，F(1)=13/8+a/2

因F(x2)为极小值，∴端点值必然大于等于0

即有 F(0)=-3/8-a/2≥0                (2)

且   F(1)=13/8+a/2≥0                (3)

联立(1)(2)(3)，可解得

-5<a<0，且a≠-7/4；a≤-3/4且a≥-13/4

取交集可得a∈[-13/4,-7/4)∪(-7/4,-3/4]

∴当a的取值范围为[-13/4,-7/4)∪(-7/4,-3/4]时，

存在x∈(0,1/2)∪(1/2,1)，使得F(x)=0，即f(x)=f(1/2)