Question

矩阵的特征值和特征向量怎么算的？

1 1 1 1
1 1 -1 -1
1 -1 1 -1
1 -1 -1 1

为什么我在后面算出了一个λ=1？

Answer 1

det(A-λI)=0
但是取巧的算法是设特征向量为(a,b,c,d)
那么
a+b+c+d=λa －－－（1）

a+b-c-d=λb－－－－（2）
a-b+c-d=λc－－－－（3）
a-b-c-d=λd－－－－（4）

(1)+(2)+(3)+(4)得，4a = λ(a+b+c+d)

代入（1）得λ*λa = 4a，即λ＝2或－2

之后就是求a:b:c:d了。
当λ＝2时，可得a=b+c+d。所以，以(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1)为基的空间中的向量皆为特征向量。
当λ=-2时，可得b=-a, c=-a, d=-a。所以特征向量为 (1, -1, -1, -1)

追问

看不懂啊 ，为什么可以令设特征向量为(a,b,c,d)
那么
a+b+c+d=λa －－－（1）

a+b-c-d=λb－－－－（2）
a-b+c-d=λc－－－－（3）
a-b-c-d=λd－－－－（4）

不理解

追答

x为A的特征向量且特征值为λ时，Ax＝λx

只是把左边乘出来而已。

Answer 2

解: |A-λE| =
1-λ 1 1 1
1 1-λ -1 -1
1 -1 1-λ -1
1 -1 -1 1-λ

ri+r1, i=2,3,4
1-λ 1 1 1
2-λ 2-λ 0 0
2-λ 0 2-λ 0
2-λ 0 0 2-λ

c1-c2-c3-c4
-2-λ 1 1 1
0 2-λ 0 0
0 0 2-λ 0
0 0 0 2-λ

= -(2+λ)(2-λ)^3.

所以, A的特征值为 2,2,2,-2.