Question

定义域为[-1,1]的奇函数f(x)满足f(x)=f(x-2),且当x∈(0,1)时f(x)=2x

定义域为[-1,1]的奇函数f(x)满足f(x)=f(x-2),且当x∈(0,1)时f(x)=2x+x1/2. 求f(X)在[-1,1]上的解析式。5

Answer 1

定义域为【-1，1】的奇函数，f(x)满足f(x)=f(x-2),且当x∈(0,1)时，f(x)=2x+√x,(1)求f(x)在定义域上的解析式；求函数f(x)的值域？

解析：∵定义域为【-1，1】的奇函数，f(x)满足f(x)=f(x-2)
f(0)=0,f(-x)=-f(x)，f(x)图像关于原点中心对称
令x=x+2代入上式得f(x+2)=f(x)
∴f(x)是以2为最小正周期的周期函数
∵当x∈(0,1)时，f(x)=2x+√x
∴当x∈(-1,0)时，f(x)=-f(-x)=2x-√(-x)
∴f(x)在定义域【-1，1】上的解析式为分段函数：
f(x)=0 (x=-1)
f(x)=-f(-x)=2x-√(-x) (-1<=x<0)
f(x)=0 (x=0)
f(x)=2x+√x (0<x<1)
f(x)=0 (x=1)
当x∈(-1,0)时，f’(x)=2+1/[2√(-x)]>0，∴单调增；
当x∈(0,1)时，f’(x)=2+1/[2√x]>0，∴单调增；
当趋向1时，f(x)的极限为3
当趋向-1时，f(x)的极限为-3
函数f(x)的值域为[-3,3)
这样可以么？