Question

计算三重积分，其中V为三个坐标面及平面 x+y+z=1 所围成的闭区域

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Answer 1

原式=∫<0,1>dz∫<0,1-z>dy∫<0,1-y-z>xdx
=∫<0,1>dz∫<0,1-z>(1/2)(1-y-z)^2dy
=(1/2)∫<0,1>dz∫<0,1-z>[(1-z)^2-2(1-z)y+y^2]dy
=(1/6)∫<0,1>(1-z)^3*dz
=(1/6)∫<0,1>(1-3z+3z^2-z^3)dz
=(1/6)(z-3z^2/2+z^3-z^4/4)|<0,1>
=(1/6)(1-3/2+1-1/4)
=1/24.