Question

已知向量a(sinx,sinx),向量b=(cosx,sinx),若函数f(x)=向量a乘以向量b

(1)若x∈0到2分之π（可以取等），求f(x)的最大值及相应的x值 （2）若x∈0到π（可以取等），求f(x)的单调递减区间

Answer 1

f(x)=sinxcosx+(sinx)^2
=(1/2)(sin2x+1-cos2x)
=(√2/2)sin(2x-π/4）+1/2，
（1）x∈[0,π/2],
∴u=2x-π/4的值域是[-π/4,3π/4],
∴v=sinu的值域是[-√2/2,1],
∴f(x)=√2v/2+1/2的最大值=(√2+1)/2，这时2x-π/4=π/2，x=3π/8.
（2）f(x)的减区间由(2k+1/2)π<2x-π/4<(2k+3/2)π，k∈Z确定，
各加π/4，得(2k+3/4)π<2x<(2k+7π/4),
各除以2，得(k+3/8)π<x<(k+7/8)π，
x∈[0,π],取k=0,得3π/8<x<7π/8，为所求.