Question

举例说明二重积分的几何意义？？谢谢！

Answer 1

1、本题的被积函数是一个顶点在原点的圆锥体，不是圆柱体。
2、如果被积函数的量纲是长度单位，则二重积分为体积；
3、如果被积函数的量纲是Pa，则二重积分的意义为计算总压力；
4、如果被积函数的量纲是kg/m²，则二重积分的意义就是算总质量；
5、如果被积函数的量纲是C/m² ，则二重积分的意义就是算总电量；
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结论：
1、二重积分是否有意义，要看被积函数的量纲，由量纲决定是否有物理意义。
2、数学老师出题，一般不会考虑什么物理模型、量纲，一般均无明确意义。
3、对于数学老师随意出出来的二重积分题，笼统地讲是算体积，其实是错的。
4、被积函数如果是1，而且这个1不带任何单位，那二重积分就是算总面积。
5、只要被积函数不是1，一般来说，二重积分没有明确意义，只是乱积而已。
数学老师出出来的二重积分的题，一般都是为了练习、熟练积分而出的题，
不必认真，只是练习而已。如果你一旦认真起来，无论你的天赋多高，创
造力多强，无论数学老师多烂，都会骂你“钻牛角尖”，“脑子有问题”。天才
就当成了白痴。

本题的解释：
1、因为本题的被积函数是圆锥体，假设x、y均有长度量纲，本题的被积函数
的意义是圆锥体上的任何一点，这一点到x-y平面的垂直高度；
2、这个高度乘以x-y平面上的微元面积dxdy，就是一个细高的立体体积，这个
细高立体的底面在x-y平面上，顶面在圆锥体的侧面上。
3、积分的结果就是圆锥体下方到x-y平面的立体体积。
4、这个体积正好等于以圆锥口为顶面，底面在x-y平面上的圆柱的体积，减去
圆锥的体积。也就是楼主题目所问的问题。
5、本题是特例，结果等于圆柱的体积减去圆锥的体积。一般情况下不是这样。