Question

已知，如图二次函数y=ax²+bx+c的图像与y轴交于点c（0，4）与X轴交于点A,B点B（4，0

已知，如图二次函数y=ax²+bx+c的图像与y轴交于点c（0，4）与X轴交于点A,B点B（4，0）抛物线对称轴为x=1，直线AD交抛物线于点D（2，m） （1）求二次函数解析式并写出D坐标 （2）点Q是AB上一动点，点Q作QE‖AD交BD于E，连接DQ，当△DQE的面积最大时，求点Q坐标 （3）直线AD交Y轴于点F，点F为抛物线对称轴上动点，点N在x轴上，当四边形CMNF周长最小时，求M,N坐标

Answer 1

(1)解析：∵如图二次函数f(x)=ax2+bx+c（a≠0）的图象上点C(0,4)，A(x1,0)，B(4,0)，D(2,m)，对称轴x=1，
f(0)=c=4；f(4)=16a+4b+4=0==>4a+b=-1；-b/(2a)=1==>b=-2a
∴a=-1/2，b=1，c=4
∴f(x)=-1/2x2+x+4==> f(2)=-2+2+4=m==>m=4
∴D(2,4)
(2)解析：令f(x)=-1/2x2+x+4=0==>x1=-2，x2=4
∴A(-2,0)
∵点Q是线段AB上的一动点，过点Q作QE∥AD交BD于E，连结DQ，
过点E作EG⊥QB，垂足为G，
设Q点坐标为（t，0），
∵QE∥AD，
∴△BEQ∽△BDA
∴BQ/AB=EG/yD==>(4-t)/6=EG/4==>EG=(8-2t)/3
∴S(⊿BEQ)=1/2BQ*EG=1/2*(4-t)*(8-2t)/3
S(⊿DQE)=S(⊿BDQ)-S(⊿BEQ)=1/2*(4-t)*4-1/2*(4-t)*(8-2t)/3
=1/2*(4-t)*(4+2t)/3=(8+2t-t^2)/3=-1/3(t-1)^2+3
∴当t=1时，S(⊿DQE)取最大值，此时Q点的坐标为（1，0）；
(3)解析：∵A(-2,0)，D(2,4)，
可求得直线AD的解析式为：y=x+2，即可求得点F(0,2)，
过点F作关于x轴的对称点F′，即F’(0,-2)，再连接DF’交对称轴于M’，x轴于N’，
由条件可知，点C，D是关于对称轴x=1对称
则CF+F’N+M’N′+M’C=CF+DF’=2+2√10，
则四边形CFNM的周长=CF+FN+NM+MC≥CF+FN′+M′N′+M′C
即四边形CFNM的最短周长为：2+2√10．
此时直线DF’的解析式为：y=3x-2，
所以存在点N的坐标为N(2/3,0），点M的坐标为M(1,1)

追问

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