Question

若f(x)的图像关于x=a与点(m,n)对称,则f(x)的周期是 （过程详细 最好附图 ）

Answer 1

• 解：（1）解：设A（m，n）为函数f（x）=x³+3x²图象的一个对称点，则f（m-x）+f（m+x）=2n，对于x∈R恒成立．即（m-x）³+3（m-x）²+（m+x）³+3（m+x）²=2n对于x∈R恒成立，
  ∴（6m+6）x²+（2m³+6m²-2n）=0由6m+6＝02m3+6m2−2n＝0解得：m＝−1n＝2
  故函数f（x）图象的一个对称点为（-1，2）．
  （2）①因为函数是奇函数，则由f（-x）=-f（x）得：-ax³+（b-2）x²=-ax³-（b-2）x²，
  解得a∈R，b=2；
  ②当a∈R，b=2时f（x）是奇函数．不存在常数a使f（x）≥-x²+4x-2x∈[-1，1]时恒成立．
  依题，此时f（x）=ax³，
  令g（x）=-x²+4x-2，x∈[-1，1]，
  ∴g（x）∈[-7，1]，
  若a=0，f（x）=0，不合题；
  若a＞0，f（x）=ax³此时为单调增函数，f（x）_min=-a．
  若存在a合题，则-a≥1，与a＞0矛盾．
  若a＜0，f（x）=ax³此时为单调减函数，
  f（x）_min=a若存在a合题，则a≥1，与a＜0矛盾．
  综上可知，符合条件的a不存在．
  （3）函数的图象关于直线x=m对称的充要条件是f（m+x）=f（m-x）
  ①a=b=0时，f（x）=0（x∈R），其图象关于x轴上任意一点成中心对称；关于平行于y轴的任意一条直线成轴对称图形；
  ②a=0，b≠0时，f（x）=bx²（x∈R），其图象关于y轴对称图形；
  ③a≠0，b=0时，f（x）=ax³，其图象关于原点中心对称；
  ④a≠0，b≠0时，f（x）=ax³+bx²的图象不可能是轴对称图形．
  设A（m，n）为函数f（x）=ax³+bx²图象的一个对称点，则f（m-x）+f（m+x）=2n对于x∈R恒成立．即a（m-x）³+b（m-x）²+a（m+x）³+b（m+x）²=2n对于x∈R恒成立，（3am+b）x²+（am³+bm²-n）=0
  由，由3am+b＝0am3+bm2−n＝0解得m＝−b3an＝2b327a2
  故函数f（x）图象的一个对称点为（-b3a，2b327a2）．