Question

用数学归纳法证明1^2-2^2+3^2-4^2+……+(-1)^(n+1)*n^2=(-1)^(n+1)*[n(n+1)]/2

Answer 1

解：1-2^2+3^2-4^2+…+(-1)^(n-1)*n^2=(-1)^(n-1)*[n(n+1)]/2

（1）当n=1时1=(-1)^0成立 即当n=1时上式成立
（2）假设当n=K（K正自然数）时上式成立即
1-2^2+3^2-4^2...+(-1)^(K-1)*K^2=(-1)^(K-1)*K(K+1)/2
则当n=K+1时
1-2^2+3^2-4^2...+(-1)^(K-1)*K^2+(-1)^K*（K+1）^2=(-1)^(K-1)*K(K+1)/2+(-1)^K*（K+1）^2=(-1)^K*(K+1)(K+2)/2
既当n=K+1时上式也成立
综上 由（1）（2）知 1-2^2+3^2-4^2...+(-1)^(n-1)*n^2=(-1)^(n-1)*n(n+1)/2

Answer 2

一、当n＝1时，
　　左边＝1^2＝1，
　　右边＝［（－1）^（1－1）］×1×（1＋1）/2＝1。
　　等式成立。
二、当n＝2时，
　　左边＝1^2－2^2＝1－4＝－3，
　　右边＝［（－1）^（2－1）］×2×（2＋1）/2＝－3。
　　等式成立。
三、设当n＝k时，等式成立，即：
　　1^2－2^2＋3^2＋······＋［（－1）^（k－1）］k^2＝［（－1）^（k－1）］k（k＋1）/2。
四、当n＝k＋1时，
　　左边＝1^2－2^2＋3^2＋······＋［（－1）^（k－1）］k^2＋［（－1）^k］（k＋1）^2
　　　　＝［（－1）^（k－1）］k（k＋1）/2＋［（－1）^k］（k＋1）^2
　　　　＝｛［（－1）^k］（k＋1）/2｝｛［（－1）^（－1）］k＋2（k＋1）｝
　　　　＝｛［（－1）^k］（k＋1）/2｝（－k＋2k＋2）
　　　　＝｛［（－1）^k］（k＋1）/2｝［（k＋1）＋1］
　　　　＝（－1）^［（k＋1）－1］（k＋1）［（k＋1）＋1］/2，
　　右边＝（－1）^［（k＋1）－1］（k＋1）［（k＋1）＋1］/2。
　　等式成立。
∴当n为正整数时，有：
1^2－2^2＋3^2＋······＋［（－1）^（n－1）］n^2＝［（－1）^（n－1）］n（n＋1）/2。