Question

已知三角形abc和三角形ADe都是等腰直角三角形，其中角abc等于角ADe等于九十度，点m为ec的

已知三角形abc和三角形ADe都是等腰直角三角形，其中角abc等于角ADe等于九十度，点m为ec的中点。 （1）如图一，当点de分别在acab上时，求证三角形bmd为等腰直角三角形。 （2）如图二，将图一中的三角形ADe绕点a逆时针旋转45度，使点b落在ab上，此问题一中的结论三角形bmd为等腰直角三角形还成立吗？请对你的结论加以证明。

Answer 1

（1）证明：
∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，
∴BM=1/2EC=MC，
∴∠MBC=∠MCB．
∴∠BME=2∠BCM．
同理可证：DM=1/2EC=MC，
∠EMD=2∠MCD．
∴∠BMD=2∠BCA=90°，
∴BM=DM．
∴△BMD是等腰直角三角形．

（2）（1）中的结论仍然成立．
延长DM与BC交于点N（如图）
∵DE⊥AB
CB⊥AB，
∴∠EDB=∠CBD=90°
∴DE∥BC．
∴∠DEM=∠MCN．
又∵∠EMD=∠NMC，
EM=MC
∴△EDM≌△MNC．
∴DM=MN．
DE=NC=AD．
又AB=BC，
∴AB-AD=BC-CN
∴BD=BN．
∴BM⊥DM．
即∠BMD=90°．
∵∠ABC=90°，
∴BM=1/2DN=DM．
∴△BMD是等腰直角三角形．