Question

定积分问题,答案没看懂

若f(x)在区间[0，a]上连续，且f(x)从0到a的积分=2，求f(x)从0到a的积分乘以f(y)从0到x的积分
答案说根据对称性，f(y)从0到x的积分=f(y)从x到a的积分,为什么?
回复一楼:第一行就是原题部分
原题真的只有这么多,这是我们学校竞赛题,应该不会出错

Answer 1

你这是啥答案呀...根据我理解, 大致这样解(所有积分都用mathematica的格式写了):

令
f[x]= dF[x]/dx, 则integrate[f[x],{x,0,a}] = F[a]-F[0] = 2,
并且, integrate[f[y],{y,0,x}] = F[x] - F[0].

那么你说的问题就化解成为
Integrate[ dF[x]/dx (F[x]-F[0]),{x,0,a}]

而积分函数可以表示为全微分形式,

dF[x]/dx (F[x] - F[0]) = (1/2)d( F[x]^2 )/dx - F[0] dF[x]/dx

做积分后得到

1/2(F[a]^2-F[0]^2) - F[0](F[a]-F[0])

化简后得到

1/2(F[a] - F[0])^2 = 1/2 (2)^2 = 2

解毕

Answer 2

先说明一下符号 Integrate[f(t),{t,0,x}]表示f(t)从0到x对t积分.

令 dF(x)/dx = f(x)
则 Integrate[f(x),{x,0,a}] = F(a)-F(0) = 2
且 Integrate[f(y),{y,0,x}] = F(x) - F(0)

所以我们有 “f(x)从0到a的积分乘以f(y)从0到x的积分”等于

Integrate[dF(x)/dx ( F(x)-F(0) ),{x,0,a}]

这里， 被积函数可以写成全微分形式:

dF(x)/dx ( F(x)-F(0) ) = 1/2 d(F(x)^2)/dx -F(0)dF(x)/dx

所以容易得出积分等于

1/2(F(a)^2 - F(0)^2) - F(0)(F(a) - F(0))
= 1/2（F(a)-F(0))^2 = 2

解毕

Answer 3

因为不好书写积分上下限，不妨把f(x)从0到a的定积分记为：∫f(x)dx|{x=0→a}。
楼主的问题就变成了，求：∫f(x)dx|{x=0→a}×∫f(y)dy|{y=0→x}

说实话，我也没看懂楼主给出的答案。
从楼主题目中给出的条件，根本就得不到对称的结论呀！

楼主的题目是不是漏写了条件？

Answer 4

你把原题拿上来，题目应该有一些还有用的条件，例如奇偶性和y值

Answer 5

一楼都说了，你把原题拿上来。原题就第一行？那你不用管这道题目了。