Question

若关于x的方程x 4 +ax 3 +ax 2 +ax+1=0有实数根，则实数a的取值范围为______

若关于x的方程x 4 +ax 3 +ax 2 +ax+1=0有实数根，则实数a的取值范围为______．

Answer 1

关于x的方程x 4 +ax 3 +ax 2 +ax+1=0有实数根x≠0， 两边除以x 2 ，得x 2 + 1 x 2 +a（x+ 1 x ）+a=0，（1） 设y=x+ 1 x ，则|y|=|x|+ 1 |x| ≥2， （1）变为 y 2 -2+ay+a=0，有根 分离变量得a= 2- y 2 y+1 = 1 y+1 +1-y， 在y≥2，或y≤-2时，a是减函数， 当y=2时，a=- 2 3 ；当y=-2时，a=2． ∴a≤- 2 3 ，或a≥2． 则实数a的取值范围为 (-∞，- 2 3 ]∪[2，+∞) ． 故答案为： (-∞，- 2 3 ]∪[2，+∞) ．