Question

如图，二次函数 的图象与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点，已知点 （－1，0），点C(0，－2)．（1）

如图，二次函数 的图象与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点，已知点 （－1，0），点C(0，－2)．（1）求抛物线的函数解析式；（2）试探究 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）此抛物线上是否存在点P,使得以P、A、C、B为顶点的四边形为梯形.若存在，请写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由；（4）若点 是线段 下方的抛物线上的一个动点，求 面积的最大值以及此时点 的坐标．

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Answer 1

(1) (2) 外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为（ ，0）．(3) P 1 (3,-2)、P 2 (5,3)、P 3 (-5,18) (4) 点M（2，﹣3），△MBC面积最大值是4.

试题分析：（1）把点 （－1，0），点C(0，－2)代入解析式，即可求出a、c的值，从而二次函数的解析式可求； （2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标． （3）根据梯形的定义即可求出点P的坐标； （4）△MBC的面积可由S△MBC= BC×h表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M． （1）将A（－1，0）、点C(0，－2)．代入 求得：   （2）∵A（-1，0）、C（0，-2）； ∴OA=1，OC=2，OB=4， 即：OC2=OA?OB，又：OC⊥AB， ∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC； ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°， ∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径； 外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为（ ，0）． （3）共三个P 1 (3,-2)、P 2 (5,3)、P 3 (-5,18)  （4）已求得：B（4，0）、C（0，-2），可得直线BC的解析式为：y= x-2； 设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y= x+b， 当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程： x+b= x 2 - x-2，即： x 2 -2x-2-b=0，且△=0； ∴4-4× （-2-b）=0，即b=-4； ∴直线l：y= x-4． 所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有： ， 解得： 即 M（2，-3）． 过M点作MN⊥x轴于N， S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB-S△OCB= ×2×（2+3）+ ×2×3- ×2×4=4． ∴点M（2，﹣3），△MBC面积最大值是4.