Question

已知函数：f（x）=alnx-ax-3（a∈R），（1）讨论函数f（x）的单调性； （2）若函数y=f（x）的图像在点（2

已知函数：f（x）=alnx-ax-3（a∈R），（1）讨论函数f（x）的单调性； （2）若函数y=f（x）的图像在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，函数g（x）=x 3 +x 2 [ +f′（x）]在区间（2，3）上总存在极值？ （3）求证： 。

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Answer 1

解：（1） ， 当a＞0时，f（x）的单调增区间为 ，减区间为 ； 当a＜0时，f（x）的单调增区间为 ，减区间为 ； 当a=0时，f（x）不是单调函数； （2）因为函数y=f（x）的图像在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°， 所以f′（2）=1， 所以a=-2， ， ， ， 要使函数 在区间（2，3）上总存在极值， 所以只需 ， 解得 ； （3）令a=-1，此时f（x）=-lnx+x-3， 所以f（1）=-2， 由（1）知f（x）=-lnx+x-3在（1，+∞）上单调递增， ∴当x∈（1，+∞）时，f（x）＞f（1）， 即-lnx+x-1＞0， ∴lnx＜x-1对一切x∈（1，+∞）成立， ∵n≥2，n∈N*， 则有0＜lnn＜n-1， ∴ ， ∴ 。