对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]?D，同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定
对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]?D，同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[...
对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]?D，同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．（1）求证：函数y＝g(x)＝3?5x不存在“和谐区间”．（2）已知：函数y＝(a2+a)x?1a2x（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n-m的最大值．（3）易知，函数y=x是以任一区间[m，n]为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的y=x及形如y＝bx+cax的函数为例）
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（1）设[m，n]是已知函数定义域的子集．
∵x≠0，∴[m，n]?（-∞，0）或[m，n]?（0，+∞）
故函数y＝3?
在[m，n]上单调递增．
若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则
（4分）
故m、n是方程3?
＝x的同号的相异实数根．∵x2-3x+5=0无实数根，
∴函数y＝3?
不存在“和谐区间”．（6分）
（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集．
∵x≠0，∴[m，n]?（-∞，0）或[m，n]?（0，+∞）
故函数y＝
＝
?
在[m，n]上单调递增．
若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则
（10分）
故m、n是方程
?
＝x，即a2x-（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根．
∵mn＝
＞0，
∴m，n同号，只须△=a2（a+3）（a-1）＞0，即a＞1或a＜-3时，已知函数有“和谐区间”[m，n]
，∵n?m＝
∵x≠0，∴[m，n]?（-∞，0）或[m，n]?（0，+∞）
故函数y＝3?
| 5 |
| x |
若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则
|
故m、n是方程3?
| 5 |
| x |
∴函数y＝3?
| 5 |
| x |
（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集．
∵x≠0，∴[m，n]?（-∞，0）或[m，n]?（0，+∞）
故函数y＝
| (a2+a)x?1 |
| a2x |
| a+1 |
| a |
| 1 |
| a2x |
若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则
|
故m、n是方程
| a+1 |
| a |
| 1 |
| a2x |
∵mn＝
| 1 |
| a2 |
∴m，n同号，只须△=a2（a+3）（a-1）＞0，即a＞1或a＜-3时，已知函数有“和谐区间”[m，n]
，∵n?m＝
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