Question

设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），f(13)＝1．（1）若存在实

设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），f(13)＝1．（1）若存在实数m，使得f（m）=2，求m的值；（2）如果f（x）＜f（2-x）+2，求x的集合．

Answer 1

（1）∵f(

1

9

)＝f(

1

3

)+f(

1

3

)＝2，又f（m）=2，
且函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，
∴m＝

1

9

；
（2）∵f(2?x)+2＝f(2?x)+f(

1

9

)＝f(

2

9

?

x

9

)，
∴f（x）＜f（2-x）+2即f（x）＜f（

2x

9

?

1

9

），
∵函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，
∴

x＞0 2?x＞0 x＞ 2 9 ? x 9

即

1

5

＜x＜2，
∴使f(x)＜f(2?x)+2的x的集合为{x|

1

5

＜x＜2}．