Question

AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F．（1）若CD=6，AC=8，则⊙O的半径为______，CE的

AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F．（1）若CD=6，AC=8，则⊙O的半径为______，CE的长是______，BD的长是______；（2）求证：CF=BF．

Answer 1

（1）∵C是弧BD的中点，CD=6
∴BC=CD=6，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB=

AC2+BC2

=

62+82

=10，
则⊙O的半径为5，
S△ABC=

1

2

AC?BC=

1

2

AB?CE，
∴CE=

6×8

10

=4.8，
CE的长是 4.8，
∵C为弧BD中点，
∴弧CD=弧BC，
∵弧BC对的圆周角是∠CAB，弧CD对的圆周角是∠CBD，
∴∠CAB=∠CBD，
∵∠ACB=∠MCB，
∴△ACB∽△BCM，
∴

BC

CM

=

AC

BC

，
∴

6

CM

=

8

6

，
CM=

9

2

，
∴AM=8-

9

2

=

7

2

，
在Rt△BCM中，BC=6，CM=

9

2

，由勾股定理得：BM=

15

2

，
由相交弦定理得：AM×CM=BM×DM，

7

2

×

9

2

=

15

2

×DM
DM=

21

10

，
BD=BM+DM=

21

10

+

15

2

=9.6，
故答案为：5，4.8，9.6．

（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB﹦90°
又∵CE⊥AB，
∴∠CEB﹦90°
∴∠BCE﹦90°-∠ACE﹦∠A，
∵C是弧BD的中点，
∴弧DC=弧BC，
∴∠CBD﹦∠A，
∴∠CBD﹦∠BCE，
∴CF﹦BF．