Question

已知抛物线y=12x2+px+q与x轴相交于不同的两点A（x1，0）、B（x2，0）（B在A的右边），又抛物线与y轴相交

已知抛物线y=12x2+px+q与x轴相交于不同的两点A（x1，0）、B（x2，0）（B在A的右边），又抛物线与y轴相交于C点，且满足1x1+1x2＝54（1）求证：4p+5q=0；（2）问是否存在一个圆O'，使它经过A、B两点，且与y轴相切于C点？若存在，试确定此时抛物线的解析式及圆心O'的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解答：（1）证明：由已知，∵x₁、x₂是一元二次方程

1

2

x²+px+q=0的两个不相等的实数根，
∴

x1+x2＝?2p x1?x2＝2q

（3分）
又∵

1

x1

+

1

x2

＝

5

4

，
即

x1+x2

x1x2

=

5

4

∴

?2p

2q

＝

5

4

，
∴4p+5q=0．（4分）

（2）答：存在满足条件的⊙O'．其理由如下：
设⊙O'满足条件，则OC是⊙O'的切线，由切割线定理知OC²=OA?OB=|x₁x₂|．（5分）
又∵抛物线y=

1

2

x²+px+q与y轴交于C点，
∴点C的坐标为（0，q），
∴OC=|q|．
∴q²=|2q|，
即q²=±2q．
解得q₁=0，q₂=2，q₃=-2．（6分）
①当q=0时，x₁?x₂=0不满足题设条件．（7分）
②当q=2时，p=-

5

2

，此时抛物线方程y=

1

2

x²-

5

2

x+2．（8分）
∴点C的坐标为（0，2），抛物线的对称轴为x=

5

2

．（9分）
∵圆心O'在AB的垂直平分线上，O'C⊥y轴，
∴圆心O′的坐标为（

5

2

，2）；（10分）
③当q=-2时，p=

5

2

，
此时抛物线为y=

1

2

x²+

5

2

x-2，
∵x₁?x₂=-4＜0，
∴A、B在y轴的两侧．
故过A、B的圆必与y轴相交，不可能相切，
因此q=-2时也不满足题设条件．
综上所述，满足条件的⊙O′是存在的，它的圆心坐标为O′（

5

2

，2），
此时抛物线的解析式为：y=

1

2

x²-

5

2

x+2．（12分）