Question

高分求解高数题目！ 曲面积分题目

打过勾的第3题和第5题，要详细过程，有加分

Answer 1

3. M=积分积分_S z dS
=积分积分_D z 根号[1+(z_x)^2+(z_y)^2] dA
其中D= {(x,y)|0<=(x^2+y^2)<=2}
=积分积分_D (1/2)(x^2+y^2) 根号[1+x^2+y^2] dA
极坐标
=积分<0,2pi>积分<0,根号2> (1/2)r^2 根号(1+r^2) rdr da
换元，t=1+r^2, dt=2rdr, r^2=t-1
=[积分<0,2pi> da][(1/4)积分<1,3> (t-1)t^(1/2) dt]
=(pi/2)积分<1,3> t^(3/2)-t^(1/2) dt
=(pi/2)*[(2/5)t^(5/2)-(2/3)t^(3/2)|<1,3>]
=(pi/2)[(2/5)9根号3-(2/3)3根号3 - 2/5+2/3]
=(pi/2)[(8/5)根号3-4/15]

5. 只能一个面一个面的求，再累加
就是要注意法向的方向

八面体上半有4个法向是正z方向
下方的4个是-z方向
所以
上方四个面S1-S4分别为x+y+z=1, -x+y+z=1,x-y+z=1,-x-y+z=1
这里的根号(1+(z_x)^2+(z_y)^2)=根号3
积分都为正
S1: z=1-x-y, D={0<x<1,0<y<1-x}
积分1=积分<0,1>积分<0,1-x> [x+2y+4(1-x-y)+5]^2 根号3 dydx
S2: z=1+x-y, D={-1<x<0,0<y<1+x}
积分2=积分<-1,0>积分<0,1+x> [x+2y+4(1+x-y)+5]^2 根号3 dydx
S3: z=1-x+y, D={0<x<1,x-1<y<0}
积分3=积分<0,1>积分<x-1,0> [x+2y+4(1-x+y)+5]^2 根号3 dydx
S4: z=1+x+y, D={-1<x<0,-x-1<y<0}
积分4=积分<-1,0>积分<-x-1,0> [x+2y+4(1+x+y)+5]^2 根号3 dydx

下方四个面S5-S8分别为x+y-z=1, -x+y-z=1,x-y-z=1,-x-y-z=1
这里的根号(1+(z_x)^2+(z_y)^2)=根号3
积分都为负
S5: z=-1+x+y, D={0<x<1,0<y<1-x}
积分5= - 积分<0,1>积分<0,1-x> [x+2y+4(-1+x+y)+5]^2 根号3 dydx
S6: z=-1-x+y, D={-1<x<0,0<y<1+x}
积分6= - 积分<-1,0>积分<0,1+x> [x+2y+4(-1-x+y)+5]^2 根号3 dydx
S7: z=-1+x-y, D={0<x<1,x-1<y<0}
积分7= - 积分<0,1>积分<x-1,0> [x+2y+4(-1+x-y)+5]^2 根号3 dydx
S8: z=-1-x-y, D={-1<x<0,-x-1<y<0}
积分8= - 积分<-1,0>积分<-x-1,0> [x+2y+4(-1-x-y)+5]^2 根号3 dydx