Question

己知二次函数f(x)=x²+ax+b.(1)当a=-6时，函数f(x)的定义域和值域都是[1，b／

己知二次函数f(x)=x²+ax+b.(1)当a=-6时，函数f(x)的定义域和值域都是[1，b／2]，求b的值.(2)若函数f(x)在区间(0，1)上与x轴有两个不同的交点，求b(1十a十b)的取值范.求帮助啊!

Answer 1

f(x)=x²+ax+b
a=-6时，f(x)=x²-6x+b=(x-3)²+b-9，开口向上，对称轴为x=3
定义域和值域都是[1，b／2]

如果1=b/2则b=2，f(1)=f(b/2)，并且1+a+2=1，a=-2
如果b/2＞1则b/2-3＞3-2，b＞8，并且f(1)=1+a+b=1和f(b/2)=b²/4+ab/2+b=b/2，a=-b，b²/4-b²/2+b=b/2，b/2=b²/4，b²-2b=0，b(b-2)=0无解
∴a=-2，b=2

f(x)=x²+ax+b在区间(0，1)上与x轴有两个不同的交点，令两个交点分别为x1，x2，x2在x1右边，则显而易见有：0＜x1＜x2＜1
f(x)=x²+ax+b可写作f(x)=(x-x1)(x-x2)
f(0)=(0-x1)(0-x2)=x1x2＞0；f(1)=(1-x1)(1-x2)＞0
又：f(0)=0+0+b=b＞0；f(1)=1+a+b＞0
∴0＜f(0)*f(1) = b(1+a+b) = x1x2(1-x1)(1-x2) = { x1(1-x1)}{x2(1-x2)} ≤ {(x1+1-x1)/2}² * {(x2+1-x2)/2}² = 1/16
∴0＜ b(1+a+b)≤1/16