Question

证明方程xe^x=1在区间(0,1)内有且只有一个实根.

Answer 1

令 f(x) = xe^x - 1
f'(x) = e^x + xe^x
在（0,1）上， f'(x) >0
即单调增
又f(0) = -1 < 0
f(1) = 2e > 0
所以f(x) 在（0,1）区间只有一次穿过X轴
所以方程xe^x=1在区间(0,1)内有且只有一个实根

Answer 2

设函数y=xe^x-1,y的倒数为e^x+xe^x，它在（0,1）之间是大于0的，说明y是单调递增函数，x=0时，y《0,；x=1时，y》0,所以y=0只有一个实根

Answer 3

首先证明在区间是单调增，这个简单求导数就好了
再x=0时f(x)=0<1
再x=1时f(x)=e>1
所以区间(0,1)内有且只有一个实根