Question

如图1，在△ABC中，AB=BC，P为AB边上一点，连接CP，以PA、PC为邻边作□APCD，AC与PD相交于点E，已知∠ABC

如图1，在△ABC中，AB=BC，P为AB边上一点，连接CP，以PA、PC为邻边作□APCD，AC与PD相交于点E，已知∠ABC=∠AEP=α（0°<α<90°）。（1）求证：∠EAP=∠EPA；（2）□APCD是否为矩形？请说明理由；（3）如图2，F为BC中点，连接FP，将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN（点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点），猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论。

Answer 1

解：（1）在ΔABC和ΔAEP中， ∵∠ABC=∠AEP，∠BAC=∠EAP， ∴∠ACB=∠APE， 在ΔABC中，AB=BC， ∴∠ACB=∠BAC， ∴∠EPA=∠EAP； （2） 答：□APCD是矩形， ∵四边形APCD是平行四边形， ∴AC=2EA，PD=2EP， ∵由（1）知 ∠EPA=∠EAP， ∴EA=EP，则AC=PD， ∴□APCD是矩形； （3）答：EM=EN， ∵EA=EP， ∴∠EPA=90°- α， ∴∠EAM=180°-∠EPA=180°-（90°- α）=90°+ α， 由（2）知∠CPB=90°，F是BC的中点， ∴FP=FB， ∴∠FPB=∠ABC=α， ∴∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90°- α+α=90°+ α， ∴∠EAM=∠EPN， ∵∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN， ∴∠AEP=∠MEN， ∴∠AEP-∠AEN=∠MEN-∠AEN， 即∠MEA=∠NEP， ∴ΔEAM≌ΔEPN， ∴EM=EN。