Question

函数f（x）定义域为R，且对任意x、y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）恒成立．则下列选项中不恒成立的是（　　

函数f（x）定义域为R，且对任意x、y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）恒成立．则下列选项中不恒成立的是（　　） A．f（0）=0 B．f（2）=2f（1） C．f（ 1 2 ）= 1 2 f（1） D．f（-x）f（x）＜0

Answer 1

函数f（x）定义域为R，且对任意x、y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）恒成立， 令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0，故A成立； 令x=y=1，得f（2）=f（1）+f（1）=2f（1），故B成立； 令x=y= 1 2 ，得f（1）=f（ 1 2 ）+f（ 1 2 ）=2f（ 1 2 ），∴f（ 1 2 ）= 1 2 f(1) ，故C成立； 令x=-y，得f（0）=f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）f（x）≤0，故D不成立． 故选D．