Question

已知□ABCD ，对角线AC 与BD 相交于点O ，点P 在边AD 上，过点P 分别作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分别为E、F，

已知□ABCD ，对角线AC 与BD 相交于点O ，点P 在边AD 上，过点P 分别作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE＝PF。（1）如图10，若PE＝ ，EO＝1，求∠EPF的度数； （2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF ＝BC＋3 －4，求BC的长。

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Answer 1

（1 ）解：连结PO， PE＝PF，PO＝PO，PE⊥AC、PF⊥BD， ∴Rt△PEO≌Rt△PFO， ∴∠EPO＝∠FPO， 在Rt△PEO中，       tan∠EPO= ， ∠EPO＝30°， ∴∠EPF ＝60°； （2）∵点P 是AD 的中点， ∴AP＝DP， 又∵ PE＝PF， ∴Rt △PEA≌Rt △PFD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴OA＝OD， ∴ AC＝2OA ＝2OD ＝BD， ∴□ABCD是矩形， ∵点P 是AD的中点，点F是DO的中点， ∴AO∥PF， ∵PF⊥BD， ∴AC⊥BD， ∴□ABCD是菱形， ∴□ABCD是正方形， ∴ BD＝ BC， ∵BF＝ BD， ∴BC＋3 －4＝ BC， 解得，BC＝4