Question

在正方形ABCD中，点M是射线BC上一点，点N是CD延长线上一点，且BM=DN．直线BD与MN相交于E．（1）如图1，当

在正方形ABCD中，点M是射线BC上一点，点N是CD延长线上一点，且BM=DN．直线BD与MN相交于E．（1）如图1，当点M在BC上时，求证：BD－2DE= BM；（2）如图2，当点M在BC延长线上时，BD、DE、BM之间满足的关系式是 ；（3）在（2）的条件下，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G．若DE= ，且AF：FD=1：2时，求线段DG的长．

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Answer 1

（1）证明见解析；（2）BD+2DE= BM；（3） ．

试题分析：（1）过点M作MF⊥BC交BD于点F，推出FM=DN，根据AAS证△EFM和△EDN全等，推出DE=EF，根据正方形的性质和勾股定理求出即可； （2）过点M作MF⊥BC交BD于点F，推出FM=DN，根据AAS证△EFM和△EDN全等，推出DE=EF，根据正方形的性质和勾股定理求出即可； （3）根据已知求出CM的长，证△ABF∽△DNF，得出比例式，代入后求出CD长，求出FM长即可． 试题解析：（1）过点M作MF⊥BC交BD于点F， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠C=90°， ∴FM∥CD， ∴∠NDE=∠MFE， ∴FM=BM， ∵BM=DN， ∴FM=DN， 在△EFM和△EDN中， ， ∴△EFM≌△EDN， ∴EF=ED， ∴BD-2DE=BF， 根据勾股定理得：BF= BM， 即BD-2DE= BM． （2）过点M作MF⊥BC交BD于点F，与（1）证法类似：BD+2DE=BF= BM， （3）由（2）知，BD+2DE= BM，BD= BC， ∵DE= ， ∴CM=2， ∵AB∥CD， ∴△ABF∽△DNF， ∴AF：FD=AB：ND， ∵AF：FD=1：2， ∴AB：ND=1：2， ∴CD：ND=1：2， CD：（CD+2）=1：2， ∴CD=2，∴FD= ， ∴FD：BM=1：3， ∴DG：BG=1：3， ∴DG= ．