Question

已知函数f（x）=12ax2-2x-2+lnx，a∈R．（1）当a=0时，求f（x）的单调增区间；（2）若f（x）在（1，+∞）

已知函数f（x）=12ax2-2x-2+lnx，a∈R．（1）当a=0时，求f（x）的单调增区间；（2）若f（x）在（1，+∞）上只有一个极值点，求实数a的取值范围；（3）对于任意x1，x2∈（0，1]，都有|x1-x2|≤f（x1）-f（x2）|，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=0时，f（x）=-2x+2+lnx，
令f′(x)＝

1

x

?2=

1?2x

x

＞0，
解得0＜x＜

1

2

．
∴f（x）的单调增区间是（0，

1

2

）．
（2）∵令f′(x)＝ax?2+

1

x

=

ax2?2x+1

x

=0，
f（x）在（1，+∞）上只有一个极值点，
∴f′（x）=0在（1，+∞）上只有一个根且不是重根．
令g（x）=ax²-2x+1，x∈（1，+∞）．
①当a=0时，g（x）=-2x+1，不在（1，+∞）上有一个根，舍去．
②当a＞0时，g（x）=ax²-2x+1，在（1，+∞）上只有一个根，且不是重根，
∴g（1）＜0，∴0＜a＜1；
③当a＜0时，g（x）=ax²-2x+1，在（1，+∞）上只有一个根，且不是重根，
∴g（1）＞0，∴a＞1，矛盾．
综上所述，实数a的取值值范围是：0＜a＜1．
（3）当x₁=x₂时，满足条件．以下以讨论x₁≠x₂的情况．
①当a≥1时，f′(x)＝

ax2?2x+1

x

＝

a(x? 1 a )2? 1 a +1

x

，
∵x∈（0，1]，

1

a

∈(0，1]，
∴a(x?

1

a

) 2-

1

a

+1≥1-

1

a

≥0，
得到f′（x）≥0，
即f（x）在（0，1]上单调递增．
对于任意x₁，x₂∈（0，1]，设x₁＜x₂，则有f（x₁）＜f（x₂），代入不等式：
|x₁-x₂|≤|f（x₁）-f（x₂）|，
∴f（x₂）-f（x₁）≥x₂-x₁，
∴f（x₂）-x₂≥f（x₁）-x₁．
引入新函数：h（x）=f（x）-x=

1

2

ax²-3x-2+lnx，
h′(x)＝ax?3+

1

x

=

ax2?3x+1

x

，
∴问题转化为h′（x）≥0，x∈（0，1]上恒成立，
∴ax²-3x+1≥0，
∴a≥

3x?1

x2

，
∴a≥ (

3x?1

x2

)max，
令l(x)＝

3x?1

x2

，
∵