Question

已知函数f（x）=ln（x+2）-x22a，（a为常数且a≠0），若f（x）在x0处取得极值，且x0?[e+2，e2+2]，而f（x

已知函数f（x）=ln（x+2）-x22a，（a为常数且a≠0），若f（x）在x0处取得极值，且x0?[e+2，e2+2]，而f（x）≥0在[e+2，e2+2]上恒成立，则a的取值范围是（　　）A．a≥e4+2e2B．a＞e4+2e2C．．a≥e2+2eD．a＞e2+2e

Answer 1

求导数可得f′(x)＝

1

x+2

?

x

a

，令f′（x）=0，可得x₀=1±

a+1

∴函数在（-∞，1-

a+1

）上单调减，在（1-

a+1

，1+

a+1

）上单调增，在（1+

a+1

，+∞）上单调减
∵f（x）在x₀处取得极值，且x₀?[e+2，e²+2]，
∴函数在区间[e+2，e²+2]上是单调函数
∴

1+ a+1 ＞e2+2 f(e+2)≥0

或

e+2＞1+ a+1 f(e2+2)≥0

∴a＞e⁴+2e²
∴a的取值范围是a＞e⁴+2e²，
故选B．