Question

已知：抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）的对称轴为x=﹣1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣3，0）

已知：抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）的对称轴为x=﹣1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣3，0），C（0，﹣2）（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标；（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意得 ， 解得 ， ∴此抛物线的解析式为y= x 2 + x﹣2． （2）连接AC、BC．因为BC的长度一定， 所以△PBC周长最小，就是使PC+PB最小． B点关于对称轴的对称点是A点，AC与对称轴x=﹣1的交点即为所求的点P． 设直线AC的表达式为y=kx+b，则 ， 解得 ， ∴此直线的表达式为y=﹣ x﹣2，把x=﹣1代入得y=﹣ ∴P点的坐标为（﹣1，﹣ ）． （3）S存在最大值， 理由：∵DE∥PC，即DE∥AC． ∴△OED∽△OAC． ，即 ， ∴OE=3﹣ m，OA=3，AE= m， ∴S=S △OAC ﹣S △OED ﹣S △AEP ﹣S △PCD= ×3×2﹣ ×（3﹣ m）×（2﹣m）﹣ × m× ﹣ ×m×1=﹣ m 2 + m=﹣ （m﹣1）2+ ∵ ∴当m=1时，S最大= ．