Question

设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对定义域内的任意x，y都满足f（xy）=f（x）+f（y），且x＞1时，f（

设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对定义域内的任意x，y都满足f（xy）=f（x）+f（y），且x＞1时，f（x）＞0．（1）写出一个符合要求的函数，并猜想f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）若f（2）=1，解不等式f（x）+f（x-3）≤2．

Answer 1

（1）y=log a x（a＞1，x＞0），…（2分）f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（3分） （2）任取x 1 ，x 2 ∈（0，+∞），且x 2 ＜x 1 由f（xy）=f（x）+f（y），得f（xy）-f（x）=f（y），令xy=x 1 ，x=x 2 ，则，∵x 1 ＞x 2 ＞0，∴ x 1 x 2 ＞1 ，∴ f( x 1 )-f( x 2 )=f( x 1 x 2 )＞0 ，∴f（x 1 ）＞f（x 2 ），故f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（6分） 由f（xy）=f（x）+f（y），令x=y=2，得f（4）=f（2）+f（2）=2f（2）=2…（7分）∴f（x）+f（x-3）≤f（4），即f[x（x-3）]≤f（4），…（8分） 由f（x）在（0，+∞）上单调递增，得 x(x-3)≤4 x＞0 x-3＞0 ，…（10分）             解得 -1≤x≤4 x＞3 ，…（11分） 所以不等式的解集为{x|3＜x≤4}．…（12分）