Question

如图，点O是平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点，将直线DB绕点O顺时针方向旋转，交DC、AB于点E、F，若DB=2

如图，点O是平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点，将直线DB绕点O顺时针方向旋转，交DC、AB于点E、F，若DB=2，AD=1，AB=5．（1）求证：当旋转角为90°，四边形AFED是平行四边形；（2）当旋转角为45°时，判断四边形AECF的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵DB=2，AD=1，AB=

5

，
∴DB²+AD²=AB²，
∴∠ADB=90°．
将直线DB绕点O顺时针方向旋转90°时，∠DOE=90°，
∴AD∥EF，
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥DE，
∴四边形AFED是平行四边形；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB=

1

2

DB=1，OA=OC，
∴AD=OD=1，
由（1）知△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，
∴△OAD是等腰直角三角形，
∴∠AOD=45°．
当直线DB绕点O顺时针旋转45°时，即∠DOE=45°，
∴∠AOE=90°，即EF⊥AC．
在△DEO与△BFO中，

∠ODE＝∠OBF OD＝OB ∠DOE＝∠BOF

，
∴△DEO≌△BFO，
∴OE=OF，
又∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形．