Question

设函数f（x）在（-∞，+∞）内连续，则关于F（x）=1x∫x0f（t）dt（x≠0）的下列四个结论：①若f（x）为

设函数f（x）在（-∞，+∞）内连续，则关于F（x）=1x∫x0f（t）dt（x≠0）的下列四个结论：①若f（x）为奇函数，则F（x）也是奇函数；②若f（x）是以T（T＞0）为周期的周期函数，则F（x）也是以T为周期的周期函数；③若f（x）为（0，1）内的有界函数，则F（x）也是（0，1）内的有界函数；④若f（x）为单调递增函数，则F（x）也为单调递增函数其中正确的个数是（　　）A．1B．2C．3D．4

Answer 1

①∵f（-x）=-f（x）
∴F(?x)＝?

1

x

∫

?x 0

f(t)dt

令u＝?t

.

=?

1

x

∫

x 0

f(?u)d(?u)＝?

1

x

∫

x 0

f(u)du＝?F(x)
∴F（x）也是奇函数
故①正确．
②∵f（x+T）=f（x）
∴F(x+T)＝

1

x+T

∫

x+T 0

f(t)dt

令u＝t?T

.

  

1

x+T

∫

x 0

f(u+T)du=

1

x+T

∫

x 0

f(u)du≠F(x)
∴F（x）不是以T为周期的周期函数．
故②错误．
③∵f（x）为（0，1）内的有界函数
∴?M＞0，使得|f（x）|≤M，0＜x＜1
∴

?Mx≤∫

x 0

f(t)dt≤Mx
∴-M≤F（x）≤M，0＜x＜1
即F（x）也是（0，1）内的有界函数
故③正确．
④假设f（x）=arctanx，则f（x）为单调递增函数
但F(x)＝

1

x

∫

x 0

f(t)dt=

1

x

∫

x 0

arctantdt＝arctanx?

ln(1+x2)

2x

（x≠0）
∴F′(x)＝

1

1+x2

?

1

2

ln(1+x2)?

1

1+x2

=?

1

2

ln(1+x2)＜0（x≠0）
∴F（x）为单调递减函数
故④错误．
因而①③正确
故选：B．