Question

已知函数f（x）=e-xsinx（其中e=2.718…）．（Ⅰ）求f（x）的单

已知函数f（x）=e-xsinx（其中e=2.718…）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在[-π，+∞）上的最大值与最小值．

Answer 1

（Ⅰ）求导函数可得f′（x）=（-sinx+cosx）e^-x=

2

cos（x+

π

4

）e^-x．
令f′（x）=0，解得：x=kπ+

π

4

，k∈Z．
因为当x∈（2kπ-

3

4

π，2kπ+

π

4

）（k∈Z）时，f′（x）＞0；当x∈（2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

）（k∈Z）时，f′（x）＜0，
所以f（x）的单调递增区间是（2kπ-

3

4

π，2kπ+

π

4

）（k∈Z），单调递减区间是（2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

）（k∈Z）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在[-π，-

3π

4

）上单调递减，在（?

3π

4

，

π

4

）上单调递增，在（

π

4

，π]上单调递减．
f（-π）=0，f（

π

4

）=

2

2

e?

π

4

＞0，f（π）=0，f（-

3π

4

）=?

2

2

e

3π

4

＜0
所以f（x）在[-π，π]上的最大值为

2

2

e?

π

4

，最小值为?

2

2

e

3π

4

．
所以f（x）在[-π，+∞）上，x=2kπ+

π

4

（k∈Z）时，取得最大值

2

2

e?

π

4

；当x=2kπ-

3

4

π（k∈Z）时，取得最小值?

2

2

e

3π

4

．