Question

已知实数a＜b＜c，设方程1x?a+1x?b+1x?c=0的两个实根分别为x1，x2（x1＜x2），则下列关系中恒成立的是（

已知实数a＜b＜c，设方程1x?a+1x?b+1x?c=0的两个实根分别为x1，x2（x1＜x2），则下列关系中恒成立的是（　　）A．a＜x1＜b＜x2＜cB．x1＜a＜b＜x2＜cC．a＜x1＜x2＜b＜cD．a＜x1＜b＜c＜x2

Answer 1

方程

1

x?a

+

1

x?b

+

1

x?c

=0即为

(x?b)(x?c)+(x?a)(x?c)(x?a)(x?b)

(x?a)(x?b)(x?c)

=0，
∴（x-b）（x-c）+（x-a）（x-c）+（x-a） （x-b）=0，
令f（x）=（x-b）（x-c）+（x-a）（x-c）+（x-a） （x-b），
∵a＜b＜c，则
f（a）=（a-b）（a-c）＞0，
f（b）=（b-a）（b-c）＜0，
f（c）=（c-a）（c-b）＞0，
根据零点存在性定理得出在（a，b），（b，c）上函数f（x）各有零点，所以a＜x₁＜b＜x₂＜c．
故选：A．