Question

设二阶可导函数f（x），f′（x）-x∫10f(tx)dt?2e?x＝0，f（0）=1，求f（x）

设二阶可导函数f（x），f′（x）-x∫10f(tx)dt?2e?x＝0，f（0）=1，求f（x）．

Answer 1

设u=tx，则

∫

1 0

f(tx)dx＝

1

x

∫

x 0

f(u)du
∴f′（x）-x

∫

1 0

f(tx)dt?2e?x＝0，可化为
f′(x)?

∫

x 0

f(u)du?2e?x＝0
两边对x求导，得
f″（x）-f（x）=-2e^-x…①
这是二阶常系数非齐次线性微分方程，其特征方程为
r²-1=0
解得特征根为：r₁=1，r₂=-1
∴其对应的齐次微分方程的通解为：y＝C1e?x+C2ex
又①的右端g（x）=-2e^-x，因而可设①的特解为
y^*=axe^-x
代入①解得：a=2
∴①的通解为：
y＝C1e?x+C2ex+2xe?x…②
又由f′（x）-x

∫

1 0

f(tx)dt?2e?x＝0，将x=0代入，得
f′（0）=2
而f（0）=1
∴代入②，得

C1+C2＝1 ?C1+C2＝?2

∴C1＝

3

2

，C2＝?

1

2

∴f(x)＝(2x+

3

2

)e?x?

1

2

ex