Question

怎样证明从三角形重心连接三个顶点组成的三个三角形面积相等

Answer 1

证明：在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。

根据重心性质知：OA'=1/3AA'，OB'=1/3BB'，OC'=1/3CC'，过O，A分别作a边上高OH'，AH可知OH'=1/3AH则，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC。

同理可证S△AOC=1/3S△ABC，S△AOB=1/3S△ABC，所以S△BOC=S△AOC=S△AOB。

三角形重心的性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 

3、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量） ，则M点为△ABC的重心，反之也成立。

4、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）。

Answer 2

证明：在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。

根据重心性质知：OA'=1/3AA'，OB'=1/3BB'，OC'=1/3CC'，过O，A分别作a边上高OH'，AH可知OH'=1/3AH则，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC。

同理可证S△AOC=1/3S△ABC，S△AOB=1/3S△ABC，所以S△BOC=S△AOC=S△AOB。

三角形性质

1 、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。

2 、在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)。

3、 在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。

推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

4、 一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。

5、 在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。

Answer 3

根据三角形中线平分三角形面积的性质可知

1+5+6=2+3+4

同理：1=2，3=4，5=6

∴3+4=5+6

∴3=6

同理可证：1=2=3=4=5=6

Answer 4

具体证明过程如图所示：

Answer 5

设:△ABC,重心为G,作CD‖BG,BD‖CG,GD,BC相交于O,则BDCG为平行四边形,BO=CO,GO=DO,向量GB+向量GC=向量GD=2向量GO又∵向量GB+向量GC=-向量GA(∵G为重心)∴向量GA=-2向量GO,∴A,G,O三点共线,|AG|=2|GO|∴S△AGC=2S△GOC,S△AGB=2S△GOB,又S△GOC=S△GOB,∴S△AGC=S△AGB=S△BGC∴三角形重心与顶点连线的三个三角形的面积比=1:1:1