Question

如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10，小明同学将一个足够大的透明的三角板的直角顶点放在BC的中点D

如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10，小明同学将一个足够大的透明的三角板的直角顶点放在BC的中点D处．（1）若三角板的两边与△ABC的边AB、AC分别交于点E、F，求证：△DEF是等腰三角形．（2）小明同学将三角板绕点D旋转，三角板的两边与△ABC的边AB、AC分别交于点E、F，请你探究四边形AEDF的面积是否变化？若没有变化，请求出四边形AEDF的面积；若有变化，请说明理由．（3）小明同学继续旋转三角板，如图2，当点E、F分别在AB、CA延长线上时，设BE的长为X，四边形ADEF的面积为S，请探究S与x的函数关系式．

Answer 1

（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，D为BC中点，
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，
∴AD=DC=DB，AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵∠EDA+∠ADF=90°，∠FDC+∠ADF=90°，
∴∠EDA=∠FDC，
在△AED和△CFD中

∠EAD＝∠C＝45° AD＝DC ∠EDA＝∠FDC

∴△AED≌△CFD（ASA），
∴ED=FD，
∴△DEF为等腰三角形；

（2）解：四边形ADEF的面积没有变化，
理由：如图1，∵△AED≌△CFD，
∴S_△ABC=

1

2

×10×10=50
∴S_{四边形ADEF}=S_△AED+S_△ADF=S_△CFD+S_△ADF=S_△ADC=

1

2

S_△ABC=25；

（3）解：如图2，由（1）中证明知∠ADF=∠BDE，∠FAD=∠EBD=135°，AD=BD，
同理△AFD≌△BED，
∴BE=AF=x，
过点D作DM⊥AB，垂足为M，则DM=

1

2

AB，
题目中AB=10．DM=

1

2

AB=5，
故四边形ADEF的面积S=S_△AEF+S_△AED=

1

2

AE?AF+

1

2

AE?DM=

1

2

（x+10）x+

1

2

（x+10）×5
即S=

1

2

x²+

15

2

x+25．